STATISTIK/PROBABILITAS

NAMA              : LM.ARDI DARMANSYAH.H

NPM                 : 15 630 038

TUGAS 5        : STATISTIK/PROBABILITAS

UJI  CHI  KUADRAT (c²)

Chi Square disebut juga dengan Kai Kuadrat. Chi Square adalah salah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus digunakan uji pada derajat yang terendah). Berikut akan kita bahas tentang rumus chi square.

1. Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

frekuensi observasi                    Nilainya didapat dari hasil percobaan (o)

frekuensi harapan                       Nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Contoh :

Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali) berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

kategori :	sisi-1	sisi-2	sisi-3	sisi-4	sisi-5	sisi-6
frekuensi ekspektasi (e)

2     Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2,         sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

           

kategori :	sisi-1	sisi-2	sisi-3	sisi-4	sisi-5	sisi-6
frekuensi   ekspektasi (e)	20*)	20	20	20	20	20

setiap  kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : x 120 = 20

Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?

Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul sebanyak 20 kali?

Coba lempar dadu sebanyak 120 kali, catat hasilnya, berapa frekuensi kemunculan setiap sisi?

Catatan saudara tersebut adalah frekuensi observasi.

1.               Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (c²)

Nilai c² adalah nilai kuadrat karena itu nilai c² selalu positif. Bentuk distribusi c² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma).Anda bisa membacanya?

Contoh :         Berapa nilai c² untuk  db =  5 dengan = 0.010?    (15.0863)

                        Berapa nilai c² untuk  db =  17 dengan = 0.005?  (35.7185)

Pengertian pada Uji c² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan  atau taraf nyata pengujian

Perhatikan gambar berikut :

             

 

                                               

                                                a : luas daerah penolakan H₀ = taraf nyata pengujian

           

 

0                                                  + ¥

2.           Pengunaan Uji  c²

Uji c²  dapat digunakan untuk :    

a.         Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit

            b.         Uji Kebebasan

c.         Uji beberapa proporsi

Prinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja

Uji Kecocokan

1. Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

H₀:  frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.

H₁: Ada kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

Contoh 1 : Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu .  Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.

H₀        :           setiap sisi akan muncul = 20 kali.

H₁        :           ada sisi yang muncul 20 kali.

Contoh 2 : Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara

Coklat     :       Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H₀            :       perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim =  5 : 2 : 2 : 1

H₁            :       perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim 5 : 2 : 2 : 1

2. Rumus  c²

                       

k          :  banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k

o_i            :  frekuensi observasi untuk kategori  ke-i

e_i            :  frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i 

       kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H₀

Derajat Bebas (db) = k - 1

             

3. Perhitungan c²

Contoh  3 :

Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

kategori :	sisi-1	sisi-2	sisi-3	sisi-4	sisi-5	sisi-6
frekuensi observasi	20 20	20 22	20 17	20 18	20 19	20 24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi             :

H₀        :           Dadu setimbang semua sisi akan muncul = 20 kali.

            H₁        :           Dadu tidak setimbang ada sisi yang muncul 20 kali.

Statistik Uji c²

Nilai = 5 % = 0.05

            k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

Nilai Tabel c²                       

k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

db = 5; = 0.05 c² tabel = 11.0705

Wilayah Kritis           = Penolakan H₀ jika  c² hitung  > c² tabel (db; a)

                                                                       c² hitung > 11.0705

Perhitungan c²                    

     

(catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik)

           

kategori :	oi	ei	( oi - ei )	( oi - ei )2	(-)²/
sisi-1	20	20	0	0		0
sisi-2	22	20	2	4		0.20
sisi-3	17	20	-3	9		0.45
sisi-4	18	20	-2	4		0.20
sisi-5	19	20	-1	1		0.05
sisi-6	24	20	4	16		0.80
	120	120	---------	--------------		1.70

     c²  hitung = 1.70

Kesimpulan :

            c²  hitung = 1.70 <  c² tabel

            Nilai c²  hitung ada di daerah penerimaan H₀

            H₀ diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat :  Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1.  Jika 500 kg adonan yang dihasilkan,  diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai  dengan perbandingan yang telah ditentukan?  Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Solusi :

H₀        :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  =  5 : 2 : 2 : 1

H₁        :           perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  5 : 2 : 2 : 1

Statistik Uji c²

Nilai = 1 % = 0.01

Nilai Tabel c²

k = 4;  db =k -1 = 4-1= 3

db = 3;            = 0.01 c² tabel = 11.3449

Wilayah Kritis           = Penolakan H₀ jika  c² hitung  > c² tabel (db; a)

                                                                      c² hitung  > 11.3449

Perhitungan c²

kategori :	oi	ei	( oi - ei )	( oi - ei )2	(-)²/
Coklat	275	250*)	25	625	2.50
Gula	95	100	-5	25	0.25
Susu	70	100	-30	900	9.00
Krim	60	50	10	100	2.00
S	500	500	-----------	--------	13.75

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan Nilai ekspektasi  Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

                                                Nilai ekspektasi  Gula =  2/10 x 500 = 100 kg

                                                Nilai ekspektasi  Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

                                                Nilai ekspektasi  Krim =  1/10 x 500 =   50 kg

c² hitung = 13.75

Kesimpulan :

c² hitung >  c² tabel ( 13.75 > 11.3449)

H₀ ditolak, H₁  diterima. 

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ¹ 5 : 2 : 2 :1

3.         Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.

(Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

• Uji Kebebasan :

H₀         :          variabel-variabel saling bebas                             

H₁         :          variabel-variabel tidak saling bebas                    

• Uji Beberapa Proporsi :

H₀        :           setiap proporsi bernilai sama                    

H₁        :           ada  proporsi yang bernilai tidak sama               

Rumus Uji

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi.

Bentuk umum Tabel Kontingensi berukuran r baris x k kolom

                  

                  derajat bebas = (r-1)(k-1)

                  r : banyak baris

                  k : banyak kolom

                 o_ij : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

                e_ij : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Perhitungan c²

Contoh 5 :                

Kita akan  menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik.  Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :

	pria	wanita	Total Baris
Kurang dari 25 jam/minggu	2.33  2	2.67 3	5
25 sampai 50 jam/minggu	6.07     7	6.93 6	13
lebih dari 50 jam/minggu	5.60 5	6.40 7	12
Total Kolom	14	16	Total Observasi=  30

*)         Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? 

Lakukan pengujian  kebebasan variabel dengan taraf uji 5 %

Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom)

db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi :

H₀         :    Gender  dan Jam kerja saling bebas 

H₁         :     Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

Statistik Uji = c²

Nilai  = 5 % = 0.05

Nilai Tabel c²  db = 2; = 0.05 c² tabel  = 5.99147

Wilayah Kritis : Penolakan        c² hitung > c² tabel

                                                                            c² hitung > 5.99147

Perhitungan c²        

    

frekuensi harapan untuk :

pria, < 25 jam        = 14 X 5/ 30 =2.33       

pria, 25-50 jam     = 14 X 13/30 =6.07

pria, > 50 jam        = 14 X12/ 30 = 5.60

wanita, < 25 jam   = 16 X 5/ 30 = 2.67 

wanita, 25-50 jam     =16 X 13/ 30 =6.93

wanita, > 50 jam =    16  12/30 = 6.40

Selesaikan Tabel perhitungan c²  di bawah ini.

           

kategori :	oi	ei	( oi - ei )	( oi - ei )2	(-)²/
P, < 25	2	2.33	-0.33	0.1089	0.1089/2.33 =  0.0467
P, 25 - 50	7	6.07	0.93	0.8649	0.1425
P, > 50	5	5.60	-0.60	0.36	0.0643
W, < 25	3	2.67	0.33	0.1089	0.0408
W, 25-50	6	6.93	-0.93	0.8649	0.1249
W, >50	7	6.40	0.60	0.36	0.0563
	------	-----	--------	---------	c² hitung =       0.4755

                                                                                   

Kesimpulan

            c² hitung < c² tabel (0.4755 < 5.99147)

            c² hitung ada di daerah penerimaan H₀

            H₀ diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan :        Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan   

hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

Contoh 6 :

Berikut adalah data proporsi penyiaran film(satuan pengukuran dalam persentase (%) jam siaran TV) di 3 stasiun TV.  Apakah proporsi pemutaran Film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun Tv tersebut sama?   Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %

	ATV (%)	BTV (%)	CTV (%)	Total Baris (%)
Film India	4.17 4.5	2.92 3.5	2.92 2.0	10
Film Kungfu	3.33 2.5	2.33      1.0	2.33 4.5	8
Film Latin	2.50    3.0	1.75 2.5	1.75 0.5	6
Total Kolom                (%)	10	7	7	Total Observasi (%) =               24

*)         Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 3( 3 baris dan 3 kolom)

db = (3-1)(3-1) = 2 x 2 =  4

Solusi :

 :    Proporsi pemutaran film India, Kungfu dan Latin di ketiga

stasiun TV adalah sama.

 :   Ada  proporsi pemutaran film India, Kunfu dan Latin di ketiga stasiun

TV yang tidak sama.

Statistik Uji = c²

Nilai  = 2.5 % = 0.025

Nilai Tabel c² db = 4; = 0.025 c² tabel  = 11.1433

Wilayah Kritis : Penolakan               c² hitung > c² tabel

                                                                                    c² hitung > 11.1433

Perhitungan c²        

frekuensi harapan untuk                          

India, ATV = 10 X 10/24 = 4.76     Kungfu, ATV = 10 X 8/24 =3.33

                                   

Latin, ATV = 10 X 6/24 = 2.50

India, BTV = 7 X 10/24 =2.92        Kungfu,BTV = 7 X 8/24 =2.33

                                                                       

            Latin,BTV =   7 X 6/24 =1.75

                                                                       

            India,CTV=    7 X10/24 =2.90         Kungfu,CTV = 7 X 8/24 =2.33

                                                             

            Latin, CTV =  7 X 6/24 =1.75

Tabel perhitungan  c² berikut

kategori:	oi	ei	( oi - ei )	( oi - ei )2/ ei	(-)²/
Ind,ATV	4.5	4.17	0.33	0.1089	0.1089/4.17 = 0.0261
Kf,ATV	2.5	3.33	-0.83	0.6889	0.2069
Lat,ATV	3.0	2.50	0.50	0.2500	0.1000
Ind,BTV	3.5	2.92	-0.58	0.3364	0.1152
Kf,BTV	1.0	2.33	-1.33	1.7689	0.7592
Lat,BTC	2.5	1.75	0.75	0.5625	0.3214
Ind,CTV	2.0	2.92	-0.92	0.8464	0.2899
Kf,CTV	4.5	2.33	2.17	4.7089	2.0201
Lat,CTV	0.5	1.75	-1.25	1.5625	0.8929
	24	------	-------	---------	c² hitung =      4.7317

                                                 

Kesimpulan :

c² hitung terletak di daerah penerimaan H₀

H₀ diterima,  proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga s   stasiun TV adalah sama.